Používání matematiky při řešení konkrétních problémů je neoddělitelně spojeno s nutností aproximovat popisované a hledané veličiny (body, funkce, množiny, …), a to tím spíš, využíváme-li při tom výpočetní techniku. V přednášce se budeme zabývat aproximací (spojité) funkce pomocí polynomů. Ukážeme si několik přístupů souvisejících jak s lokální, tak s globální aproximací. Naše úvahy budeme ilustrovat konkrétními příklady.

Po stručném úvodu (aneb “trocha teorie nikoho nezabije”) budou v přednášce prezentovány matematické úlohy, které jsou založené na teorii pravděpodobnosti a mají zajímavé nebo nečekané řešení.

To, že je matematika univerzálním jazykem fyziky a že umožňuje výsledky fyzikálních pozorování a experimentů popsat pomocí kvantitativních zákonů, je známo přinejmenším od dob Galilea Galileiho a je usilovně připomínáno ve všech fyzikálních učebnicích. Méně je však zdůrazňován fakt, že některé fyzikální zákony vyplývají přímo z matematiky samotné a že k jejich "odvození" není experimentů zapotřebí. V této úvodní přednášce se zaměříme na ukázky, jak mohou být užitečné matematická analýza (Taylorova věta) a lineární algebra (algebra symetrických matic) při formulaci obecného popisu vlastností materiálů (index lomu, Ohmův zákon, elasticita apod).

V přednášce si připomeneme zavedení komplexních čísel a rovněž i nejčastěji používané tvary (algebraický, goniometrický a exponenciální). Dále si ukážeme některé důležité vlastnosti a aplikace komplexních čísel (snadné otáčení bodů v rovině, apod.). Ukážeme také užitečnost komplexních čísel při řešení problémů z oboru reálných čísel – hledání součtů (reálných) řad, výpočet (reálných) integrálů, apod. Bez použití komplexních čísel by tyto výpočty byly mnohdy velice komplikované. Dále ukážeme i některé zajímavé geometrické úlohy řešené pomocí komplexních čísel.

Ty nejjednodušší fyzikální zákony jako jsou rovnováhy sil, zákony zachování energie apod. lze reprezentovat prostřednictvím lineárních rovnic nebo jejich soustav. Počet rovnic i počet neznámých v těchto soustavách však úměrně narůstá se složitostí popisovaných jevů a zejména s požadavkem na vyšší přesnost numerických modelů. V dnešní době se již běžně bavíme o diskretizovaných úlohách o stovkách miliónů či miliardách rovnic a neznámých. To jsou však počty, pro které již s obyčejnými stolními počítači nevystačíme a pro řešení takových úloh musíme využívat ty nejvýkonnější počítače, které jsou k dispozici. Bohužel jejich použití není až tak přímočaré jak by se mohlo na první pohled zdát a algoritmy pro řešení rovnic navržené na malé soustavy nelze na těchto počítačích bez dalších úprav efektivně využít.
Hlavním cílem přednášky je proto představit základní principy reprezentace vybraných fyzikálních úloh prostřednictvím soustav lineárních rovnic a představit základní metody jejich řešení včetně ohodnocení jejich výpočetní náročnosti a tzv. škálovatelnosti - hlavního parametru posuzování jejich využitelnosti pro velmi výkonné superpočítače. Stručně budou představeny i základní softwarové knihovny, které tyto metody implementují včetně jejich testování.